معادلات دیفرانسیل خطی – آموزش معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول

درس معادلات دیفرانسیل یکی از دروس پایه ای و مهم رشته های مهندسی برق، مکانیک، مواد و … در دانشگاه می باشد. در این مقاله قصد داریم تا با معادلات دیفرانسیل خطی از درس معادلات دیفرانسیل آشنا شویم.

معادله دیفرانسیل خطی 

اگر معادله ای نمایش عمومی زیر را داشته باشد به آن معادله دیفرانسیل خطی می گویند. معادله دیفرانسیل زیر یک معادله دیفرانسیل خطی y نسبت به x نامیده می شود.

توجه داشته باشید که در معادله بالا، a(x) و b(x) هر دو یک چند جمله ای بر حسب متغیر x می باشند.

می توان نشان داد که فاکتور انتگرال (عامل انتگرال ساز) و جواب عمومی این معادله دیفرانسیل به صورت زیر بدست می آیند :

عامل انتگرال ساز (بر حسب متغیر x) :

جواب عمومی :

معادله دیفرانسیل خطی را می توان به شکلی دیگر نیز بیان کرد. اگر در معادله دیفرانسیل فوق جای x و y را با هم عوض کنیم، نمایش عمومی زیر را برای معادله دیفرانسیل خطی بر حسب x نسبت به y خواهیم داشت.

توجه داشته باشید که در معادله بالا، a(y) و b(y) هر دو یک چند جمله ای بر حسب متغیر y می باشند.

می توان نشان داد که فاکتور انتگرال (عامل انتگرال ساز) و جواب عمومی این معادله دیفرانسیل به صورت زیر بدست می آیند :

عامل انتگرال ساز (بر حسب متغیر y) :

جواب عمومی :

حال که به صورت کامل با معادله دیفرانسیل خطی آشنا شده اید به سراغ حل چند مثال می رویم تا حل این معادلات را به خوبی یاد بگیرید.

تمرین 1 : 

جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را به دست آورید.

اگر به فرم معادله دیفرانسیل دقت کنید، مشاهده می کنید که یک معادله دیفرانسیل خطی بر حسب y نسبت به x می باشد. حال مطابق فرمول هایی که در بالا گفتیم اقدام به حل این معادله دیفرانسیل می کنیم.  با توجه به فرمول a(x) = 1/x و b(x) = 1/x پس عامل انتگرال ساز به صورت زیر به دست می آید.

حال که عامل انتگرال ساز را به دست آوردیم، می توانیم جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی را به صورت زیر محاسبه کنیم.

با جایگذاری در فرمول بالا خواهیم داشت که :

در آخر جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی به صورت زیر خواهد بود.

تمرین 2 : 

جواب عمومی معادله دیفرانسیل زیر را تعیین کنید.

با انجام یک سری عملیات جبری معادله داده شده به معادله زیر تبدیل می شود :

حال اگر کسر x/y را به سمت چپ تساوی منتقل کنیم، یک معادله دیفرانسیل خطی بر حسب x نسبت به y خواهیم داشت.

با توجه به معادله مشخص می شود که a(y) و b(y) به صورت زیر خواهند بود.

     &   

حال با داشتن a(y) ، عامل انتگرال ساز به راحتی قابل محاسبه است.

در آخر جواب عمومی معادله دیفرانسیل به صورت زیر بدست می آید :

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول