تعریف تابع – تعریف دامنه و برد

با یک آموزش از درس ریاضی عمومی 1 با شما عزیزان هستیم.توابع اساس مطالعه حساب دیفرانسیل و انتگرال هستند. به کمک تابع می توانیم دنیای واقعی را به زبان ریاضی توصیف کنیم. یک تابع می تواند توسط یک معادله،‌ یک نمودار و یا یک جدول عددی بیان گردد. تا انتهای این مقاله با ما همراه باشید تا با تعریف تابع آشنا شوید.

تعریف تابع، دامنه و برد

مساحت و محیط یک دایره به شعاع آن وابسته است، در واقع مساحت و محیط دایره توابعی از شعاع آن دایره هستند. دمای نقطه جوش آب به ارتفاع از سطح دریا بستگی دارد یا به عبارت بهتر دمای نقطه جوش آب تابعی از ارتفاع از سطح دریا می باشد.

مقدار یک متغیر کمی، که می توانیم آن را ” y ” نامگذاری کنیم، وابسته است به یک متغیر کمی دیگر که می توانیم آن را ” x ” نامگذاری کنیم. اگر بخواهیم واضح تر این موضوع را بیان کنیم، در واقع y تابعی از x است و مقدار آن می تواند با تغییر مقدار x تغییر کند. این موضوع را می توانیم به شکل نمادین زیر بیان کنیم :

Y = f(x)

در رابطه بالا f نماد بیان کننده تابع است. X که از آن به عنوان متغیر مستقل یاد می کنیم در واقع ورودی تابع f است و y که به آن متغیر وابسته می گوئیم نشان دهنده مقدار خروجی تابع f با ورودی x است.

فرض کنید مجموعه ای به نام D داریم که مقادیر x را از آن انتخاب می کنیم. یک تابع از مجموعه D به مجموعه y قاعده ای است که به ازای هر عنصر از D є X یک عنصر منحصر به فرد به نام f(x) را در Y تعیین می کند.

تعریف دامنه

به مجموعه تمام مقادیر موجود در D که به عنوان تمام مقادیر ورودی ممکن تابع شناخته می شوند، دامنه تابع گفته می شود.

تعریف برد

به مجموعه تمام مقادیر f(x) که با تغییر x بر روی D به دست می آیند، برد تابع می گوئیم.

دامنه و برد یک تابع می توانند مجموعه ای از اشیاء باشند، اما در ریاضیات اغلب اینها مجموعه ای از اعداد حقیقی هستند. توابع معمولاً به صورت یک فرمول داده می شوند، که چگونگی ارتباط بین ورودی و خروجی آن ها را مشخص می کند. به عنوان مثال به فرمولی که مساحت یک دایره را مشخص می کند، توجه کنید. فرمول مساحت دایره به صورت  در این جا r به عنوان ورودی شناخته می شود که نشان دهنده شعاع دایره است و همیشه یک مقدار مثبت به خود می گیرد، مقدار A که از آن به عنوان خروجی یاد می شود هم نشان دهنده مقدار مساحت یک دایره است که آن هم همیشه یک مقدار مثبت به خود می گیرد.

دامنه طبیعی

هر گاه تابع y = f(x) را به وسیله یک فرمول تعریف کرده باشیم، اما مقادیر ورودی یا دامنه آن به صورت دقیق مشخص نشده باشند، آنگاه فرض بر این گذاشته می شود که دامنه آن عبارت است از بزرگترین مجموعه حاوی مقادیر x، که به ازای این مقادیر از x، فرمول تعریف شده مقادیر حقیقی y را می دهد، که آن را دامنه طبیعی f می نامیم.

تعریف تابع حقیقی 

وقتی که مجموعه مقادیر برد یک تابع تماماً اعداد حقیقی باشند، آنگاه به آن تابع یک تابع حقیقی می گوئیم. دامنه و برد اکثر توابع حقیقی از یک متغیر حقیقی بازه ها یا ترکیبی از بازه ها هستند. این بازه ها ممکن است باز، بسته، نیمه باز، متنهاهی یا نا متنهاهی باشند. به عنوان مثال فرض کنید تابع را در نظر بگیرید، اگر دامنه ورودی این تابع مقادیر باشند، آنگاه برد این تابع تمام مقادیر حقیقی مربع شده از صفر تا مثبت بی نهایت می باشد، که همه ی آن ها مقادیر حقیقی هستند.

نمایش های مختلف یک تابع 

نمایش ماشینی تابع

فرض کنید که تابع f به صورت یک ماشین است، که در ورودی آن مقادیر x که دامنه تابع گفته می شوند، قرار دارند و در خروجی مقادیر f(x) که برد تابع هستند را به ما تحویل می دهد.

اگر بخواهیم یک مثال واضح تر از تابع به عنوان یک ماشین بیان کنیم، می توانیم به کلیدهای یک ماشین حساب اشاره کنیم، مثلاً کلیدی که جذر یک عدد را می گیرد، مثل یک ماشین است. هنگامی که شما یک عدد مثبت مثل 4 را به ماشین حساب می دهید و سپس کلیدی که جذر عدد 4 یا را حساب می کند، فشار می دهید، ریشه دوم این عدد یعنی 2 را دریافت می کنید. در این فرآیند، عدد 4 به عنوان ورودی به این تابع داده می شود، تابع f که در این جا عمل جذر یا می باشد و در آخر خروجی که عدد 2 است به شما داده می شود.

نمایش پیکانی تابع

همچنین می توانیم یک تابع را به صورت نمودار پیکانی نمایش دهیم، هر پیکان در شکل زیر یک عنصر از مجموعه D را به یک عنصر دیگر از مجموعه Y نظیر می کند. توجه داشته باشید، که یک تابع می تواند به ازای دو ورودی مختلف، خروجی یکسانی داشته باشد، به عنوان مثال به ازای دو ورودی مختلف، مقدار f(a) به دست آمده است.

مثال : دامنه و برد توابع  و را بدست آورید.

تابع به ازای هر عدد حقیقی x یک مقدار حقیقی y را بدست می دهد، پس دامنه این تابع از می باشد. اگر محاسبه کنید، متوجه خواهید شد که تابع هر عدد چه مثبت و چه منفی که می گیرد، یک مقدار مثبت را به بر می گرداند، پس برد این تابع به صورت می باشد.

تابع به ازای هر x مخالف صفر یک مقدار حقیقی y را می دهد. توجه داشته باشید که نمی توانیم هیچ عددی را بر صفر تقسیم کنیم. برد ، مجموعه معکوس های تمام اعداد حقیقی غیر صفر.

امیدواریم که مقاله تعریف تابع برای شما عزیزان مفید واقع شده باشد، هر گونه سئوال در مورد این مقاله را در قسمت نظرات مربوط با آن مطرح کنید.