دروس برقمعادلات دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن + آموزش تصویری

یاسین بهره ملا ارسال ایمیل اکتبر 25, 2021آخرین به روز رسانی: نوامبر 19, 2021
0 8,532 خواندن این مطلب 5 دقیقه زمان میبرد

 

پیش از این با معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول و نحوه بدست آوردن جواب عمومی معادله دیفرانسیل مرتبه اول به طور کامل آشنا شدیم. در این آموزش قصد داریم تا به شما معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم و روش های حل آن ها را به شما آموزش دهیم. پس با این آموزش با ما همراه باشید.

معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را خطی می گوئیم اگر فرم عمومی زیر را داشته باشد:

\dpi{150} \large y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=r(x)

در معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی نشان داده شده در شکل بالا اگر r(x)=0 باشد آنگاه به آن معادله خطی مرتبه دوم  “همگن”، در غیر این صورت به “نا همگن” می گوئیم. 

اگر \dpi{150} \large y_{h} جواب عمومی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن و \dpi{150} \large y_{p} جواب یک جواب خصوصی معادله غیر همگن باشد، آن گاه جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم به صورت \dpi{150} \large y=y_{h} + y_{p} می باشد. 

تعریف اول:

فرض کنید مجموعه ای از توابع به صورت \dpi{120} \large {y_{1}(x) + y_{2}(x) + y_{3}(x) + ... + y_{n}(x) } داشته باشیم، که این توابع بر بازه [m,n] تعریف شده باشند. آنگاه به این توابع وابسته خطی گوئیم اگر ثابت های حقیقی \dpi{120} \large c_{1},c_{2},...,c_{n} را داشته باشیم که دست کم یکی از آن ها مخالف با صفر است، وجود داشته باشند، آنگاه برای هر x که بر بازه [m,n] تعریف شده باشد، خواهیم داشت که : 

\dpi{120} \large c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+...+c_{n}y_{n}(x)=0

اگر رابطه بالا برای این توابع برقرار نباشد، آن گاه آن ها را مستقل خطی می گوئیم. 

نکته: به عنوان مثال فرض کنید که دو تابع \dpi{120} \large y_{1}(x) و \dpi{120} \large y_{2}(x) را در اختیار داریم، در این صورت اگر حاصل کسر \dpi{120} \large \frac{y_{2}(x)}{y_{1}(x)} برابر با یک عدد ثابت باشد، آنگاه این دو تابع را وابسته می گوئیم و اگر حاصل این کسر برابر با یک عدد ثابت نباشد، آنگاه آن ها را مستقل خواهیم گفت. 

آموزش حل معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن 

گفتیم که یک معادله خطی مرتبه دوم همگن به صورت زیر می باشد، اگر در آن r(x)=0 باشد. 

\dpi{150} \large y^{''}+p(x)y^{'}+q(x)y=r(x)

حل معادله خطی مرتبه دوم همگن با ضرائب ثابت

ابتدا معادله زیر را در نظر بگیرید: 

\dpi{120} \large ay^{''}+by^{'}+cy=0

در این معادله ضرائب a,b,c اعدادی ثابت و حقیقی هستند. برای حل معادله دیفرانسیل مرتبه دوم همگن با ضرائب ثابت ابتدا باید معادله مشخصه را به صورت زیر تشکیل دهیم: 

\dpi{120} \large as^{2}+bs+c=0

معادله بالا، یک معادله درجه دوم می باشد که برای یافتن ریشه های آن به صورت زیر عمل خواهیم کرد. 

1 – اگر \dpi{120} \large \bigtriangleup >0 باشد، آنگاه معادله مشخصه دارای ریشه های \dpi{120} \large s_{1} , s_{2} می باشد و می توان نشان داد که

\dpi{120} \large y_{1}=e^{s_{1}x} , y_{2}=e^{s_{2}x} دو جواب خصوصی این معادله هستند، پس جواب عمومی این معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود. 

\dpi{120} \large y_{h}=c_{1}e^{s_{1}x} + c_{2}e^{s_{2}x}

2 – اگر \dpi{120} \Delta = 0، آنگاه معادله مشخصه دارای جواب مضاعف S می باشد. می توان اثبات کرد که \dpi{120} y_{1} = e^{sx} و \dpi{120} y_{2} = xe^{sx} دو جواب خصوصی معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی هستند. پس برای جواب عمومی خواهیم داشت که : 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}e^{sx} + c_{2}xe^{sx}

3 – اگر \dpi{120} \Delta < 0 باشد، در این صورت معادله مشخصه ریشه حقیقی نداشته و دارای دو ریشه مختلط به صورت \dpi{120} \alpha +i\beta و \dpi{120} \alpha - i\beta می باشد. همچنین می توان به راحتی اثبات کرد که معادله دیفرانسیل دارای دو جواب خصوصی به صورت زیر می باشد: 

\dpi{120} y_{1} = e^{\alpha x}cos\beta x و \dpi{120} y_{2} = e^{\alpha x}sin\beta x

در نهایت جواب عمومی معادله دیفرانسیل را به صورت زیر خواهیم داشت : 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}e^{\alpha x}cos(\beta x) + c_{2}e^{\alpha x}sin(\beta x)

مثال 1 : جواب عمومی معادله دیفرانسیل \dpi{120} y^{''} -2y^{'}+y = 0 را بدست آورید.

چون که معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن و با ضرائب ثابت می باشد، ابتدا ریشه های معادله مشخصه را بدست می آوریم. همانطور که مشخص است معادله دیفرانسیل دارای ریشه مضاعف به صورت زیر می باشد: 

\dpi{120} s^{2} - 2s + 1 = 0 \Rightarrow (s - 1)^{2} = 0 \Rightarrow s = 1

همانطور که مشاهده می شود، معادله مشخصه دارای ریشه مضاعف می باشد، بنابراین جواب عمومی معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود: 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}e^{x} + c_{2}xe^{x}

مثال 2 :  جواب عمومی معادله دیفرانسیل \dpi{120} y^{''} - 2y^{'} + 2y = 0 را بدست آورید. 

چون که معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن و با ضرائب ثابت می باشد، ابتدا ریشه های معادله مشخصه را بدست می آوریم. همانطور که مشخص است معادله دیفرانسیل دارای ریشه مختلط به صورت زیر می باشد: 

\dpi{120} s^{2} - 2s + 2 = 0 \Rightarrow s = \frac{1\pm \sqrt{1 - 2}}{1} = 1 \pm i \Rightarrow \alpha = 1 , \beta = 1

همانطور که دیدیم معادله مشخصه دارای ریشه های مختلط می باشد، پس جواب عمومی به صورت زیر خواهد بود: 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}e^{x}cosx + c_{2}e^{x}sinx

مثال 3 : جواب عمومی معادله دیفرانسیل \dpi{120} y^{''} + y^{'} -2y = 0 را بدست آورید. 

چون که معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن و با ضرائب ثابت می باشد، ابتدا ریشه های معادله مشخصه را بدست می آوریم. همانطور که مشخص است معادله دیفرانسیل دارای دو ریشه متمایز به صورت زیر می باشد: 

\dpi{120} s^{2} + s - 2 = 0 \Rightarrow (s+2)(s-1)=0 \Rightarrow s = 1 , s = -2

با توجه به اینکه ریشه های معادله مشخصه متمایز هستند، جواب عمومی معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود: 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-2x}

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n همگن با ضرائب ثابت 

فرم کلی یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n همگن به صورت زیر می باشد: 

\dpi{120} k_{n}y^{n} + k_{n-1}y^{n-1} + .... + k_{1}y^{'} + k_{0}y = 0

که در آن \dpi{120} k_{n},k_{n-1}...k_{1},k_{0} همگی اعداد ثابت هستند. 

برای حل چنین معادله دیفرانسیلی ابتدا باید معادله مشخصه آن را به صورت زیر تشکیل دهیم. 

\dpi{120} k_{n}s^{n} + k_{n-1}s^{n-1}+...+k_{1}s + k_{0} = 0

بعد از اینکه ریشه های معادله مشخصه را بدست آوردیم، چند حالت برای جواب های معادله مشخصه خواهیم داشت که آن ها را در ادامه بررسی می کنیم. 

1 – اگر معادله مشخصه دارای ریشه متمایز k باشد، در این حالت به جواب عمومی معادله دیفرانسیل جمله زیر را اضافه خواهیم کرد: 

\dpi{120} ce^{sx}

2 – اگر معادله مشخصه دارای ریشه حقیقی s تکرار شده از مرتبه m باشد، در این صورت به جواب عمومی به دست آمده، جملات زیر را اضافه خواهیم کرد: 

\dpi{120} c_{1}e^{sx} + c_{2}xe^{sx} + .... + c_{m}x^{m-1}e^{sx}

3 – در این حالت اگر معادله مشخصه دارای ریشه های مختلط \dpi{120} \alpha \pm i\beta تکرار شده از مرتبه m باشند، آنگاه به جواب عمومی معادله دیفرانسیل جملات زیر را اضافه خواهیم کرد: 

\dpi{120} c_{1}e^{\alpha x}cos(\beta x) + c_{2}e^{\alpha x}sin(\beta x) + ... + c_{2m-1}x^{m-1}e^{\alpha x}cos(\beta x) + c_{2m}x^{m-1}e^{\alpha x}sin(\beta x)

مثال 4 :  جواب عمومی معادله دیفرانسیل \dpi{120} y^{4}+4y^{''}+4y=0 را بدست آورید. 

برای حل این معادله دیفرانسیل خطی مرتبه n باید ابتدا ریشه های معادله دیفرانسیل را بدست آوریم. 

\dpi{120} s^{4}+4s^{2}+4=0 \Rightarrow (s^{2}+2)^{2} \Rightarrow (s^{2}+2) \Rightarrow s = \pm i\sqrt{2} \Rightarrow \alpha = 0 , \beta = \sqrt{2}

طبق حالت سوم که قبلاً بیان کردیم، به دلیل اینکه ریشه های موهومی فوق تکرار شده از مرتبه 2 هستند، پس جواب عمومی معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود: 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}cos(\sqrt{2}x)+c_{2}sin(\sqrt{2}x)+c_{3}xcos(\sqrt{2}x)+c_{4}xsin(\sqrt{2}x)

حل معادله لژاندر مرتبه دوم همگن 

اگر معادله دیفرانسیلی به فرم عمومی زیر داشته باشیم به آن معادله لژاندر مرتبه دوم همگن می گوییم: 

\dpi{120} a(\alpha x+\beta )^{2}y^{''}+b(\alpha x+\beta )y^{'}+cy = 0

یک معادله لژاندر مرتبه دوم همگن را می توان با تغییر متغیر \dpi{120} u = ln(\alpha x+\beta ) به یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرائب ثابت تبدیل می شود. برای حل این معادله دیفرانسیل جایگزینی های زیر را انجام می دهیم: 

\dpi{120} (\alpha x+\beta )y^{'} = \alpha y_{u}^{'} , (\alpha x+\beta )^{2}y^{''} = \alpha^{2}(y_{u}^{''}-y_{u}^{'})

بعد از اینکه جایگزینی های زیر را انجام دادیم، سپس معادله دیفرانسیل با ضرائب ثابت را به روش های گفته شده از قبل حل می کنیم. 

حل معادله کشی – اویلر

اگر در معادله لژاندر مرتبه دوم همگن \dpi{120} \alpha = 1 و \dpi{120} \beta = 0، معادله به یک معادله کشی – اویلر تبدیل خواهد شد. 

\dpi{120} ax^{2}y^{''}+bxy^{'}+cy=0

برای حل این معادله دیفرانسیل ابتدا تغییر متغیر u = lnx را اعمال کرده، سپس جایگزینی های زیر را انجام می دهیم: 

\dpi{120} xy^{'} = y_{u}^{'} , x^{2}y^{''} = y_{u}^{''}-y_{u}^{'}

مثال 5 : جواب عمومی معادله دیفرانسیل \dpi{120} x^{2}y^{''}+xy^{'}+y=0 را به دست آورید. 

معادله دیفرانسیل داده شده یک معادله کشی – اویلر می باشد که برای حل آن طبق نکات گفته شده در بالا عمل می کنیم. 

\dpi{120} (y_{u}^{''} - y_{u}^{'}) + y_{u}^{'} + y = 0 \Rightarrow y_{u}^{''} + y = 0

همانطور که مشاهده می کنید، معادله دیفرانسیل فوق یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ضرائب ثابت می باشد که با تشکیل معادله مشخصه ریشه های این معادله را به دست می آوریم. 

\dpi{120} s^{2} + 1 = 0 \Rightarrow s = \pm i \Rightarrow \alpha = 0 , \beta = 1

با توجه به اینکه ریشه های معادله مشخصه موهومی هستند، پس جواب عمومی این معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود. 

\dpi{120} y_{h} = c_{1}e^{0u}cos(u) +c_{2}e^{0u}sin(u) = c_{1}cos(u) + c_{2}sin(u) \Rightarrow y_{h} = c_{1}cos(lnx) + c_{2}sin(lnx)

فیلم آموزش معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن :

برچسب ها
یاسین بهره ملا ارسال ایمیل اکتبر 25, 2021آخرین به روز رسانی: نوامبر 19, 2021
0 8,532 خواندن این مطلب 5 دقیقه زمان میبرد
تصویر یاسین بهره ملا

یاسین بهره ملا

من یاسین بهره ملا، دانش آموخته رشته مهندسی برق این وب سایت رو تاسیس کردم تا آموخته های خودم و چیزهایی که میخونم رو اینجا به اشتراک بذارم تا شما بتونید به راحتی از اونا استفاده کنید. امیدوارم که خوشتون بیاد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

دکمه بازگشت به بالا