دروس برقریاضیات مهندسی

قضایای کوشی ریمان و توابع تحلیلی – آموزش معادلات کوشی و تابع تحلیلی

یاسین بهره ملا ارسال ایمیل نوامبر 26, 2021آخرین به روز رسانی: نوامبر 26, 2021
0 3,795 خواندن این مطلب 4 دقیقه زمان میبرد

در آموزش های قبلی با اعداد مختلط و خواص آن ها آشنا شدید، در این آموزش قصد داریم تا با مفاهیم قضایای کوشی ریمان و توابع تحلیلی آشنا شویم و به حل چند مثال بپردازیم. تا انتهای این مقاله با ماه همراه باشید.

معادلات کوشی ریمان به احترام آگوستین لویی کوشی (Augustin Louis Cauchy) و برنهارت ریمان (Bernhard Riemann) نام گذاری شده اند. معادلات کوشی ریمان در واقع دو معادله مشتق جزئی هستند که شرط لازم برای مشتق پذیر بودن یک تابع مختلط در ناحیه مختلط C را بررسی می کنند. در صورتی که این معادلات برای یک تابع مختلط برقرار باشند، می توان گفت تابع مورد نظر بر ناحیه داده شده شرط لازم برای مشتق پذیر بودن را دارد.

توابع تحلیلی

تعریف تابع تحلیلی بر یک ناحیه :

تابع مختلط f(z) را در ناحیه D تحلیلی می گوئیم، اگر این تابع در تمام نقاط ناحیه D مشتق پذیر باشد.

تعریف تابع تحلیلی بر یک نقطه :

تابع مختلط f(z) را در نقطه ای مانند \dpi{120} z_{0} تحلیلی می گوئیم، هرگاه در یک همسایگی از نقطه \dpi{120} z_{0} وجود داشته باشد که تابع f در تمام نقاط آن همسایگی مشتق داشته باشد.

تابع تام : تابعی که در تمام نقاط صفحه مختلط تحلیلی باشد، به آن تابع تام می گوئیم.

مثال 1 : تحلیلی بودن تابع \dpi{120} f(z)=|z|^{2} را بررسی کنید.

\dpi{150} f(z)=|z|^{2}=x^{2}+y^{2}

حال قسمت های حقیقی و موهومی تابع f(z) را به صورت زیر جدا خواهیم کرد :

\dpi{150} u=x^{2}+y^{2}, v=0

حال شرایط کوشی ریمان را برای این تابع بررسی خواهیم کرد.

\dpi{150} u_{x}=2x, v_{y}=0, u_{y}=2y, -v_{x}=0

شرایط کوشی ریمان فقط در x = 0 و y = 0 برقرار است، پس تابع در هیچ تحلیلی نیست.

قضایای کوشی ریمان

اگر تابع مختلط f(z) را به صورت \dpi{120} f(z) = u + iv تعریف کنیم که در آن u و v هر کدام جملاتی بر حسب x و y هستند، آنگاه شرط لازم برای مشتق پذیر بودن تابع مختلط f(z) به صورت زیر می باشد:

\dpi{150} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}

\dpi{150} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

هنگامی که گفته می شود شرایط کوشی ریمان برای یک تابع مختلط برقرار هستند، منظور برقرای معادلات بالا می باشد.

شرط لازم و کافی : برای اینکه تابع مختلط \dpi{120} f(z) = u + iv در نقطه ای مانند z = x + iy مشتق پذیر باشد، باید چهار مشتق جزئی مرتبه اول آن در نقطه مورد نظر z پیوسته باشد و در نهایت در معادلات کوشی ریمان صدق کند. اگر چنین شرایطی برقرار باشد آنگاه می توانیم با قطعیت بگوییم که تابع مختلط f(z) در نقطه z مشتق پذیر و تحلیلی می باشد.

در صورتی که شرط لازم و کافی برای مشتق پذیر بودن تابع f(z) به صورت کامل برقرار باشند، می توانیم \dpi{120} f^{'}(z) که مشتق تابع f(z) می باشد را به صورت زیر محاسبه کنیم:

\dpi{150} f^{'}(z) = \frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}

\dpi{150} f^{'}(z) = \frac{\partial v}{\partial y} -i\frac{\partial u}{\partial y}

نکته : اگر در قضایای کوشی ریمان اگر روابط \dpi{120} u_{x}=v_{y} و \dpi{120} u_{y} = -v_{x} برقرار باشند، مشتق پذیر بودن یک تابع تضمین نخواهد شد. اما می توان گفت اگر برای تابعی این روابط برقرار نبودند، می توانیم بگوییم که قطعاً تابع مورد نظر مشتق ندارد. ولی اگر شرط لازم و کافی برای یک تابع برقرار باشد، آنگاه می توانیم بگوییم که آن تابع قطعاً مشتق پذیر است. 

مثال 2 : مشتق پذیری تابع \dpi{120} f(z) = z^{2} را بررسی کنید و سپس مشتق آن را نیز به دست آورید.

ابتدا فرض می کنیم که z = x+iy باشد، حال باید قسمت های حقیقی و موهومی تابع f(z) را مشخص کنیم، پس خواهیم داشت :

\dpi{150} f(z)=(x+iy)^{2}\rightarrow (x^{2}-y^{2})+i(2xy) \rightarrow u(x,y)=x^{2}-y^{2} , v(x,y)=2xy

حال که قسمت های حقیقی و موهومی تابع f(z) را مشخص کردیم، وقت آن است که شرایط کوشی ریمان را برای این تابع بررسی کنیم:

\dpi{150} \frac{\partial u}{\partial x} = 2x , \frac{\partial v}{\partial y} = 2x \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}

\dpi{150} \frac{\partial u}{\partial y} = -2y , -\frac{\partial v}{\partial x} = -2y \Rightarrow \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

مشاهده می شود که معادلات کوشی ریمان برای این تابع برقرار هستند. همچنین مشتقات جزئی نیز پیوسته می باشد. پس تابع مورد نظر مشتق پذیر است و مشتق آن به صورت زیر خواهد بود :

\dpi{150} f^{'}(z) = u_{x}+iv_{x} = 2x + i2y

اگر از 2 موجود در مشتق تابع یک فاکتور بگیریم، خواهیم داشت که:

\dpi{150} f^{'}(z)=2(x+iy) \Rightarrow z = x+iy \Rightarrow f^{'}(z) = 2z

پس می توان نتیجه گرفت که مشتق توابع چند جمله ای در حوزه توابع مختلط ، دقیقاً مثل توابع حقیقی می باشد.

چند نکته در مورد برقراری شرایط کوشی ریمان

  • اگر در ضابطه تابع مختلط f فقط \dpi{120} z و \dpi{120} \bar{z} و حتی اعداد ثابت داشته باشیم، اگر شرط \dpi{120} \frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 برقرار باشد، آنگاه می توانیم با قاطعیت بگوییم که شرایط کوشی ریمان برقرار می باشد.
  • اگر در ضابطه تابع مختلط f فقط x و y داشته باشیم، با برقراری شرایط \dpi{120} \frac{\partial f}{\partial x} = -i\frac{\partial f}{\partial y} باز هم می توانیم با قاطعیت بگوییم که شرایط کوشی ریمان حتماً برقرار است.

معادلات کوشی ریمان در مختصات قطبی

اگر در تابع مختلط f(z) که در مختصات قطبی تعریف شده است، فرض کنیم که \dpi{120} z = re^{i\theta } باشد، آنگاه تابع مختلط f(z) به صورت زیر تعریف خواهد شد:

\dpi{150} \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta }

\dpi{150} \frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }

البته باید توجه داشته باشید، در صورتی z مخالف با صفر باشد می توانیم از روابط بالا استفاده کنیم.

اگر \dpi{120} f^{'}(z) وجود داشته باشد، در مختصات قطبی به صورت زیر محاسبه خواهد شد:

\dpi{150} f^{'}(z)= (\frac{\partial u}{\partial r}+i\frac{\partial v}{\partial r})e^{-i\theta }=\frac{1}{r}(\frac{\partial v}{\partial \theta }-i\frac{\partial u}{\partial \theta })e^{-i\theta }

مثال 3 : اگر تابع w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) تحلیلی باشد، آنگاه مشتق f(z) را بدست آورید.

چون در صورت سئوال گفته است که این تابع تحلیلی است، پس می توانیم نتیجه بگیریم که شرایط کوشی ریمان برای این تابع برقرار خواهند بود. پس شرایط کوشی ریمان در مختصات قطبی را برای این تابع خواهیم نوشت:

\dpi{150} f(z)=u(r,\theta )+iv(r,\theta ) \rightarrow \frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta },\frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta }

حال می خواهیم مشتق تابع f(z) را بدست آوریم، پس طبق رابطه مشتق تابع مختلط f(z) در مختصات قطبی خواهیم داشت:

\dpi{150} f^{'}(z)=(\frac{\partial u}{\partial r}+i\frac{\partial v}{\partial r})e^{-i\theta }=\frac{1}{r}(\frac{\partial v}{\partial \theta }-i\frac{\partial u}{\partial \theta })e^{-i\theta }

رابطه اویلر را خواهیم داشت:

\dpi{150} e^{-i\theta }=cos(-\theta )+isin(-\theta)=cos(\theta)-isin(\theta)

سپس ساده سازی زیر را انجام خواهیم داد و مشتق f(z) بدست خواهد آمد:

\dpi{150} \frac{1}{r}(\frac{\partial v}{\partial \theta }-i\frac{\partial u}{\partial \theta })e^{-i\theta } \overset{-i^{2}}{\rightarrow} \frac{-i}{r}(\frac{\partial v}{\partial \theta }-i\frac{\partial u}{\partial \theta })*ie^{-i\theta } \Rightarrow

\dpi{150} \frac{-1}{r}(\frac{\partial u}{\partial \theta }+i\frac{\partial v}{\partial \theta })*i(cos\theta -isin\theta )=\frac{-1}{r}(sin\theta +icos\theta )\frac{\partial f}{\partial \theta }

امیدوارم که مقاله قضایای کوشی ریمان و توابع تحلیلی از درس شیرین ریاضیات مهندسی برای شما همراهان همیشگی مفید واقع شده باشد. در صورتی که در رابطه با معادلات کوشی ریمان و توابع تحلیلی پرسشی داشتید، می تونید با من در میون بذارید، در سریع ترین زمان ممکن جوابتون رو میدم. 🙂

برچسب ها
یاسین بهره ملا ارسال ایمیل نوامبر 26, 2021آخرین به روز رسانی: نوامبر 26, 2021
0 3,795 خواندن این مطلب 4 دقیقه زمان میبرد
تصویر یاسین بهره ملا

یاسین بهره ملا

من یاسین بهره ملا، دانش آموخته رشته مهندسی برق این وب سایت رو تاسیس کردم تا آموخته های خودم و چیزهایی که میخونم رو اینجا به اشتراک بذارم تا شما بتونید به راحتی از اونا استفاده کنید. امیدوارم که خوشتون بیاد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

دکمه بازگشت به بالا