اعداد مختلط و آشنایی با خواص آن ها + آموزش تصویری

در این مقاله قصد داریم که شما رو با مبحث اعداد مختلط از درس شیرین ریاضیات مهندسی آشنا کنیم. در ادامه با ما همراه باشید.

عدد مختلط چیست ؟ 

هر عدد به فرم z = x +iy را یک عدد مختلط می گویند که در آن x و y دو عدد حقیقی هستند و به  i =

یکه موهومی گفته می شود. اگر عدد مختلط به صورت z = x +iy تعریف شود، آن را فرم دکارتی عدد مختلط می گویند که در آن x را قسمت حقیقی و y را قسمت موهومی z می نامیم و به فرم زیر نمایش می دهیم.

Re z = x , Im z = y

مجموعه اعداد مختلط را به صورت زیر تعریف می کنیم :

همچنین می توان تمام اعداد حقیقی را به فرم اعداد مختلط نوشت با این فرض که مولفه موهومی آن ها صفر است. به عنوان مثال اگر فرض کنیم x یک مقدار حقیقی باشد می توان آن را به فرم z = x + i0 تعریف کرد.

نمایش روی محور مختصات 

برای نمایش اعداد مختلط روی محور مختصات دو محور عمود بر هم رسم می کنیم و محور افقی را به عنوان قسمت حقیقی و محور عمودی را به عنوان قسمت موهومی در نظر می گیریم.

اندازه یک عدد مختلط

اندازه یک عدد مختلط در واقع فاصله آن عدد مختلط تا مبدأ مختصات را نشان می دهد. قدر مطلق یا اندازه یک عدد مختلط به صورت زیر تعریف می شود :

به عنوان مثال اگر عدد مختلط z = 2 + 3i را داشته باشیم، برای به دست آوردن اندازه آن کافی است قسمت حقیتی یعنی x = 2 و قسمت موهومی یعنی y = 3 را به توان دو رسانده با یکدیگر جمع کرده و از آن جذر بگیریم.

جمع

مجموع دو عدد مختلط z1 = a + bi و z2 = c + di به صورت زیر بدست می آید:

در واقع برای جمع دو عدد مختلط باید قسمت های حقیقی و موهومی را به صورت جداگانه با یکدیگر جمع کنیم.

تفاضل 

تفاضل دو عدد مختلط z1 = a + bi و z2 = c + di به صورت زیر بدست می آید:

ضرب 

اگر دو عدد مختلط به فرم z1 = a + bi و z2 = c + di داشته باشیم، برای ضرب آن ها در یکدیگر کافی است که دو عدد را به صورت معمولی و جمله به جمله در هم ضرب کنیم. البته توجه داشته باشید که در هنگام ضرب به جای قرار دهید.

تقسیم 

برای بدست آوردن حاصل تقسیم دو عدد مختلط z1 = a + bi و z2 = c + di باید صورت و مخرج کسر را در مزدوج مخرج ضرب کنیم.

مزدوج یک عدد مختلط 

به ازای هر عدد مختلط z = x+iy مزدوج آن به صورت = x – iy تعریف می شود که آن را ” زِد بار ” می خوانیم. به عنوان مثال اگر عدد مختلط z = 2 +i3 را داشته باشیم، مزدوج آن به صورت بدست می آید. اگر بخواهیم به طور دقیق تر مزدوج یک عدد مختط را تعریف کنیم، در واقع مزدوج یک عدد مختلط یعنی قرینه آن عدد مختلط نسبت به محور حقیقی است.

ضرب یک عدد مختلط در مزدوج خودش 

اگر یک عدد مختلط را در مزدوج خودش ضرب کنیم اندازه آن عدد مختلط به توان دو بدست می آید. به روابط زیر دقت کنید.

در واقع می توانیم بگوییم که :